Ci vuole un fisico!

Diamo ora un rapido sguardo a come si può usare la simmetria per lo studio dell’immensamente piccolo, ovvero nello studio dell’atomo, dei suoi costituenti e ancora più in profondità fino ai mattoncini elementari della materia. Il tema è troppo vasto per essere affrontato in questa sede, ma chi si dovesse appassionare a questi temi si accorgerebbe che più si approfondisce lo studio delle leggi elementari della fisica e più la simmetria diventa lo strumento fondamentale per la comprensione della natura. Le simmetrie che abbiamo incontrato finora sono relative a trasformazioni continue dello spazio, orientamento e tempo. Ad esempio, la forza gravitazionale del Sole è invariante per rotazione attorno al suo centro e quindi i pianeti ruotano con un momento angolare costante. Momento angolare che può però assumere qualunque valore, ovvero essere potrà essere orientato in qualunque direzione dello spazio.  Nel caso invece della fisica nucleare e sub nucleare si ha a che fare con grandezze quantizzate, come ad esempio lo spin che abbiamo visto in precedenza. Qui entra allora in gioco un elemento tassonomico fondamentale per capire come catalogare le particelle e collegarle alle forze della natura, in un puzzle, o meglio un Lego nel quale ogni pezzo viene indicato con un numero che fa riferimento sia alla grandezza osservabile sia alla simmetria del campo a cui è soggetto. E’ un ragionamento un po’ astruso detto così ma che si capisce bene con degli esempi, tra cui il decadimento dei nucleoni         Prendiamo ad esempio la carica elettrica. In tutti gli esperimenti macroscopici essa si conserva sempre. Come ci si può attendere, questa caratteristica deve essere collegata ad una simmetria del campo elettrico, cosa che è infatti riscontrabile nelle famose equazioni di Maxwell, che hanno una simmetria un po’ particolare detta di gauge (scala), in quanto aggiungendo un qualunque valore costante al potenziale esse non cambiano. In una analogia certamente imprecisa, ricordiamo che le equazioni di Maxwell esprimono i campi elettrici come onde, con una formulazione identica a quella delle onde meccaniche. Nell’analogia con le onde del mare, è come dire che le equazioni di Maxwell descrivono il moto dell’onda sulla superficie, indipendentemente dalla profondità del mare. Può essere 10, 100, 1000 metri, ma nelle stesse circostanze le onde si comportano sempre nello stesso modo. Ecco, questa aggiunta di un valore costante è detta appunto gauge. Le equazioni di Maxwell, quindi, sono invarianti per traformazioni di gauge, cosa che ne determina la costanza della carica elettrica totale. Nel mondo subatomico, anche le equazioni di Shroedinger sono invarianti per trasformazioni di gauge, quindi anche per le particelle elementari dovrà valere l’invarianza della carica totale. Allora, e questo è il punto determinante, ad ogni particella sarà abbinato un valore discreto della carica elettrica, con il risultato che il valore totale non potrà mai cambiare in una reazione. Questo meccanismo si applica ad altre simmetrie, ad esempio l’invarianza della forza nucleare forte nell’interazione neutrone-protone, neutrone-neutrone, protone-protone può essere rappresentata come una invarianza per simmetria nello scambio protone-neutrone, da cui emerge la necessità di avere una grandezza associata ad ogni nucleone e che rimane costante nelle reazioni nucleari forti, e che i fisici chiamano isospin. Nel decadimento beta l’isospin non si conserva, infatti non è una reazione dovuta alla interazione nucleare forte ma alla interazione nucleare debole. Che è simmetrica per tutti i leptoni (es. elettroni, positroni). Ma,

Puntata un po’ più lunga delle altre per affrontare un tema affascinante, ovvero la costanza delle leggi fisiche nel corso della vita dell’Universo. Scopriremo collegamenti insospettati con la simmetria e il teorema di Noether. L’Universo ha un’età di circa 14 miliardi di anni ed è evoluto fino a noi secondo un percorso che oggi possiamo ricostruire conoscendo in modo sempre più preciso le leggi della fisica. C’è però un problema: noi conosciamo le leggi che regolano l’Universo oggi. Più precisamente, possiamo risalire alle osservazioni sistematiche fatte dall’inizio del pensiero scientifico, circa 2500 anni fa, un intervallo di tempo sostanzialmente nullo in confronto all’età stessa dell’Universo. Se la storia dell’Universo fosse un film, noi ne conosceremmo solo una singola immagine fissa e da questa dovremmo ricostruire tutta la trama precedente: il nostro eroe si sta calando con una corda in una fossa buia: perché è in quel luogo? come ci è arrivato? dove sta andando?  Fortunatamente l’oggi ha moltissimi segnali dal passato, dai fossili ai sedimenti rocciosi o ai meteoriti che cadono sulla Terra, tutti portatori di materia generata milioni di anni fa insieme alla Terra e che possiamo utilizzare per aggiungere qualche immagine e ricostruire il nostro passato provando ad immaginare cosa avverrà nel futuro. C’è però un vincolo strutturale alla nostra capacità di riavvolgere il film all’indietro, ovvero il fatto che le leggi fisiche che governano il mondo non siano cambiate nel corso del tempo! DVedremo che una risposta a questa domanda ci viene offerta da una misteriosa miniera ad Oklo, in Gabon. E oggi sappiamo che, molto probabilmente, le leggi dell’universo non sono mai cambiate. La questo significa che esse sono simmetriche per traslazione temporale quindi, per il teorema di Noether, dovrà essistere una grandezza fisica che rimane costante. Qual è? E siamo sicuri che non cambierà mai in futuro? Buon ascolto!Iscriviti al Podcast: Photo by https://unsplash.com/@petradr?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText on https://unsplash.com/s/photos/time?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyTextMusic: Climb by Shane Ivers – https://www.silvermansound.com

Dopo aver curiosato nell’infinito, affrontiamo ora un altro protagonista affascinante: la simmetria. Come vedremo, la simmetria è uno strumento straordinariamente potente, un microscopio concettuale che permette di analizzare e sezionare l’essenza della materia. Lo studio della simmetria ha origini lontane, ma alcune delle evoluzioni più interessanti sono dovute ad Emmy Noether, una scienziata di altissima caratura, contemporanea di Georg Cantor, considerata la più grande matematica di tutti i tempi. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noether.jpg#/media/File:Noether.jpg Di sconosciuto – https://www.flickr.com/photos/maaorg/5506847067/, Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=66702 Emmy Noether ha realizzato studi in campi molto diversi ma è universalmente nota per il teorema che porta il suo nome, il Teorema di Noether, nel quale formalizzò il rapporto tra la simmetria e le leggi fisiche, scoprendo un legame talmente forte e affascinante da lasciare sbalorditi. Il teorema di Noether si applica a quei fenomeni fisici le cui leggi sono simmetriche rispetto a una trasformazione. La forza gravitazionale, ad esempio, è uguale in tutti i punti posti alla stessa distanza dal centro della Terra, la forza attrattiva tra due cariche elettriche di segno opposto è la stessa se invertiamo la polarità delle cariche, gli esperimenti fisici hanno gli stessi risultati in qualunque giorno della settimana. Il teorema di Noether enuncia che ogni volta che una legge fisica è invariante per una determinata simmetria, esiste una correlata grandezza fisica che rimane costante, e viceversa. Vedremo che possiamo utilizzare il concetto di simmetria e il teorema di Noether per rileggere alcune famose leggi della fisica come il principio di inerzia di Galileo e le leggi di Keplero in termini di simmetria dei campi di forze. In questo podcast inizieremo a fare qualche esercizio sulla simmetria per poi affrontare temi più complessi come la costanza delle leggi fisiche nel corso della vita dell’Universo o la classificazione delle particelle elementari. Buon ascolto! Andrea Iscriviti al Podcast: Photo by https://unsplash.com/@cacobjopus?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText on https://unsplash.com/s/photos/symmetry?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyTextDance of the Sugar Plum Fairies Kevin MacLeod (incompetech.com)Licensed under Creative Commons: By Attribution 3.0 Licensehttp://creativecommons.org/licenses/by/3.0/

In questo podcast faremo l’ultima salita verso la vetta dell’infinito, per poter osservare dall’alto il cosiddetto Paradiso di Cantor. Abbiamo già affrontato gli insiemi infiniti, i metodi diagonali di Cantor, la cardinalità del numerabile e la cardinalità del continuo . Prima di introdurre nuovi strumenti che ci servono per l’ultimo tratto in salita faremo una divagazione turistica all’Hotel di Hilbert, per rilassari un po’ e capire meglio le stranezze dei numeri transfiniti. In particolare, scopriremo le difficoltà ad uscire dalla cardinalità del numerabile , anche aggiungendo infiniti insiemi sempre con cardinalità . Vedremo poi esempi di cardinalità del reale , ad esempio un segmento. Qual è la cardinalità dei punti contenuti all’interno di una superficie chiusa? Anche in questo caso l’area avrà la cardinalità del reale , identica a quella del segmento, come si capisce osservando la famosa curva di Peano. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hilbert_curve.png#/media/File:Hilbert_curve.png http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=384543 Come si vede, infatti, la curva di Peano è costruita in modo iterativo e a tendere copre tutto il quadrato che la contiene. Quindi, il quadrato avrà la stessa cardinalità della linea, ovvero la cardinalità del numerabile . Introdurremo poi l’insieme delle parti di un insieme per passare infine allo strumento dell’esponenziazione, che ci permette di passare da un livello di cardinalità a quello superiore, generando quindi tutti i numeri transfiniti. Ma questi numeri transfiniti sono densi o continui? è il primo cardinale superiore ad o ce ne sono altri? Sembrerebbe una questione di lana caprina o un inutile esercizio stilistico per far passare il tempo a matematici curiosi. In realtà, questa domanda è stata è uno dei problemi matematici più famosi degli ultimi 100 anni e prende il nome di ipotesi del continuo di Cantor, in quanto lui stesso ipotizzò che non ci fossero livelli intermedi, pur non essendo in grado di dimostrarlo. È un problema così famoso che Hilbert (quello dell’Hotel!) nel 1900 lo inserì come il primo di 23 problemi che i matematici avrebbero dovuto risolvere nel corso del nuovo secolo. Se l’infinito fosse un libro giallo, la soluzione di questo problema sarebbe come la scoperta dell’assassino. Ma come i migliori gialli, fino all’ultimo si cela una sorpresa! Buon ascolto! Iscriviti al Podcast: Photo by https://unsplash.com/@8moments?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText on https://unsplash.com/s/photos/paradise?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyTextMusic: Inspirational Breakthrough by Shane Ivers – https://www.silvermansound.com/

In questa puntata proseguiamo la passeggiata nelle stranezze dell’infinito tramite l’opera geniale di Cantor, il matematico che riuscì a dominarlo. Con la scoperta dei numeri irrazionali da parte di Pitagora abbiamo due insiemi di numeri infiniti, quelli densi e quelli continui, senza salti. Per dominare l’infinito serve fare un ulteriore passo: contarlo. Contare significa mettere un insieme in relazione biunivoca con i numeri naturali 1, 2, 3, 5 … Ad esempio, l’insieme infinito dei numeri quadrati 1, 4, 9, 16, 25 … è in relazione biunivoca con i numeri naturali stessi:     Cantor fece due dimostrazioni geniali con le quali scoprì che i numeri razionali sono contabili, ovvero numerabili, mentre i numeri reali, l’insieme dei numeri razionali e irrazionali, non lo sono. Si veda la descrizione del https://www.civuoleunfisico.it/primo-metodo-diagonale-di-cantor/ di Cantor e del https://www.civuoleunfisico.it/secondo-metodo-diagonale-di-cantor/ di Cantor. Per gli insiemi finiti si dice potenza o cardinalità di un insieme il numero di elementi in esso contenuti. Cantor estese questa definizione agli elementi infiniti, intuendo che tramite lo strumento della relazione biunivoca avrebbe potuto classificare gli insiemi infiniti che sembravano essere indomabili e non categorizzabili. In questo esercizio di classificazione, Cantor prese tutti gli insiemi infiniti che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali e chiamò Aleph zero https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Caleph_0%0 la loro potenza, che viene detta anche cardinalità del numerabile. I numeri naturali, allora, hanno cardinalità , così come i numeri razionali. Hanno la stessa potenza, la potenza del numerabile. L’insieme di tutti i numeri reali, invece, è pure un insieme infinito ma non può essere numerabile, ha cioè una potenza più alta, che Cantor indicò con e che viene identificata con la cardinalità del continuo.  La strada era a questo punto segnata. Come Alice nel paese delle Meraviglie, Cantor aprì un varco verso una dimensione completamente nuova, impensata, ovvero i livelli dell’infinito. Ma potremmo allora chiederci: ci sono altri insiemi infiniti che non sono numerabili ma che si possono mettere in relazione biunivoca con i numeri reali? E ci sono altri livelli di infinito oltre a e https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Caleph_1%0? E questi livelli sono finiti o infiniti? Se sono infiniti, sono densi o continui?  Buon ascolto!Iscriviti al Podcast: Photo by https://unsplash.com/@nhillier?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText on https://unsplash.com/s/photos/numbers?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText Music by https://freemusicarchive.org/music/Kevin_MacLeod, https://freemusicarchive.org/music/Kevin_MacLeod/Classical_Sampler/Canon_in_D_Major